Hotel Hilberta
fermat
Wydaje się oczywistym, że brak wolnych miejsc w każdym hotelu oznacza, że nikt już w tym hotelu miejsca nie znajdzie, ale w eksperymencie myślowym Hilberta z hotelem o nieskończonej, acz przeliczalnej liczbie pokoi?, oczywistość ta przestaje by prawdziwa. Nie dość, że można w nim zakwaterować zawsze każdego, kto zgłosi się do recepcji, to nawet, gdyby do hotelu Hilberta przyjechała wycieczka złożona z dowolnie wielkiej, byle skończonej liczby turystów, to wszyscy oni też w hotelu Hilberta łatwo by się zmieścili:
Pierwszego turystę z autobusu umieszczono by (chwilowo) w pokoju o numerze pierwszym przenosząc gościa z tego numeru do numeru dwa, tego z dwójki do pokoju trzy, z trójki do czwórki itd. Drugi turysta z autobusu już po chwili mógłby zająć (na chwilę) pokój 1, a turysta, który przed chwilą został tam zakwaterowany musiałby się przenieść do dwójki, tego, który przed chwilą zajął dwójkę, przeniosłoby się do rójki itd. Dalszy ciąg jest oczywisty, trzeci znowu do jedynki przesuwając wszystkich w hotelu o jeden numer i tak dalej i tak dalej, aż do opróżnienia autobusu.
Nie dość, że w Hotelu Hilberta można zakwaterować zawsze każdą skończoną liczbę gości, którzy zgłoszą się do recepcji, to nawet, gdyby do hotelu Hilberta przyjechała (autobusem Hilberta) wycieczka złożona z nieskończonej, acz przeliczalnej liczby turystów, to wszyscy oni też w hotelu Hilberta by się zmieścili:
Obsługa hotelu poprosiłaby okupujących jego (wszystkie) pokoje gości o przeniesienie się z numerów n do numerów 2n. I tak gość z jedynki przeszedłby do pokoju numer dwa, gość z dwójki do czwórki, gość z trójki do szóstki, itd. Operacja ta zwolniłaby w całym hotelu pokoje o numerach nieparzystych i wtedy można by gości z wycieczki w nich umieścić: pierwszego w jedynce, drugiego w trójce, trzeciego w piątce itd.
Nie koniec na tym dziwnych właściwości Hotelu Hilberta. Możemy sobie wyobrazić, że pojawia się w nim naraz nieskończona (acz przeliczalna) liczba autobusów Hilberta, a w każdym z nich nieskończona, acz przeliczalna liczba turystów. Czy uda im się wszystkim spędzić noc pod dachem? Uda się, uda i jest na to kilka (nieskończenie wiele) sposobów. Ustalmy dla wygody, że liczbą n  numerować będziemy pokoje w hotelu, m numerować będzie autobusy, a k pasażerów w każdym autobusie. Metoda pierwsza opiera się na znajomości własności liczb pierwszych:
W pierwszej kolejności opróżniamy w sposób opisany powyżej pokoje nieparzyste przenosząc gości z pokoju n do pokoju 2n. Następnie turystów z pierwszego autobusu umieszczamy w pokojach o numerach 3k, z drugiego do pokoi o numerach 5k, z trzeciego do pokoi 7k, z czwartego do pokoi 11k, itd. Jak można zauważyć kolejne podstawy tych potęg to kolejne liczby pierwsze. Z definicji dla każdego znajdzie się miejsce, co więcej wiele, nieskończenie wiele, pokoi zostanie pustych, nie każda bowiem liczba naturalna jest jakąś potęgą jakiejś liczby pierwszej. Metoda ta, z punktu widzenia właściciela hotelu, jest nieoptymalna.
Prostsza i pod wyżej wspomnianym względem optymalna jest metoda kodowania numerów autobusów i numerów miejsc turystów w nich siedzących w numery pokoi hotelowych, jakie powinni zająć.
Dla uproszczenia możemy potraktować cały hotel, jako autobus o numerze 0 i jego początkowych gości numerować numerami ich pokoi, w jakich zakwaterowano ich początkowo. Numery turystów zapisane w układzie dziesiętnym (albo jakimkolwiek innym) są skończonymi ciągami cyfr. Każdemu turyście przyporządkowane są dwa takie skończone ciągi. Na ogół mają one różne liczby elementów. Dla wygody możemy uzupełnić krótszy z nich zerami. A potem wystarczy już złożyć oba te ciągi w jeden wypisując po kolei pierwszą cyfrę „ciągu autobusu” i pierwszą cyfrę „ciągu pasażera”, drugą autobusu, drugą pasażera, itd. Powiedzmy, że pasażer o numerze 853904 w autobusie 8926, po uzupełnieniu dysponowałby ciągami 853904 i 008926, co dałoby 080583992064 i to byłby numer jego pokoju.
Bardziej matematyczna metoda zapakowanie nieskończonej liczby nieskończonych (ale ciągle przeliczalnych) wycieczek w Hotelu Hilberta jest pakowanie „trójkątne”:
Gości będących już w hotelu z pokojów o numerach n przenosimy do pokojów (n2 + n ) / 2. Nowemu potencjalnemu gościowi, turyście o numerze k z autobusu o numerze m przydzielamy pokój o numerze
[ (k + m - 1)2 + (k + m - 1) ] / 2 + k
Liczby postaci (n2 + n )/2 nazywają się liczbami trójkątnymi - 1, 3, 6, 10,….
Gdyby ustawić pokoje Hotelu Hilberta w trójkąt mający w wierzchołku pokój pierwszy, poniżej w kolejnym rzędzie dwa pokoje 2 i 3, w rzędzie trzecim pokoje 4, 5 i 6, potem 7, 8, 9 i 10, to otrzymalibyśmy rozszerzająca się w dół w nieskończoność piramidę. Liczby trójkątne, czyli pokoje, w których spędzić noc by mieli pierwotni goście hotelu, stanowią prawą krawędź trójkąta, ludzie z pierwszego autobusu zamieszkaliby w pokojach 2, 4, 9, 14,… w nieskończonym rzędzie drugim od prawej, drugi autobus zająłby rząd trzeci i tak dalej. W ten sposób nieskończona liczba nieskończonych (ale przeliczalnych) wycieczek zajęłaby wszystkie pokoje Hotelu Hilberta.
Oczywiście można by sobie wyobrazić, że na lotnisku w pobliżu hotelu wylądowałaby nieskończona, ale przeliczalna liczba samolotów Hilberta, z których każdy przywiózłby na swoim pokładzie nieskończoną, ale przeliczalną liczbę autobusów Hilberta, a każdy z nich wiózłby nieskończoną, ale przeliczalną liczbę turystów. Oczywiście wszystkich można by przy odrobinie wyobraźni zmieścić w nieskończonym Hotelu Hilberta.
Gdyby chcieć uogólnić arytmetykę liczb neutralnych na działania opisujące rachunki na nieskończonościach (ograniczmy się do „nieskończoności przeliczalnych”) musimy zanotować, że: ale Po prostu nieskończoności jest bardzo dużo. Dużo więcej niż można sobie wyobrazić. I to jest pewien problem.